Feledatok analízisből
1. Számítsuk ki a következő határértéket!
limn→∞(3+2n2n−5)4n+7
Ennek a feladatnak az alapja a következő határérték:
limn→∞(1+1n)n=e
Itt az e az Euler-szám, amit a számológépen is meg lehet találni a logaritmus billentyűk környékén, és shift vagy 2ndF gombokkal lehet előhozni. Ha a határértékben egy kicsi módosítást teszünk, azaz az 1-est kicseréljük x-re, akkor a végeredményben az e-nek is x lesz a kitevője:
limn→∞(1+xn)n=ex
Most térjünk vissza az eredeti feladathoz. A cél az, hogy ilyen alakúra hozzuk. Láthatjuk, hogy a zárójelen belül kétszer is szerepel a 2n:
limn→∞(3+2n2n−5)4n+7
Ezért emeljük ki a tört felső és alsó részéről is a 2n-t
limn→∞(2n(32n+1)2n(1−52n))4n+7
Mivel a tört felső és alsó részében is szerepel ugyanaz a dolog szorzatban (a 2n), ezért ez kiesik. Még egy dolgot megváltoztattam: a felső részben megfordítottam az összeadás sorrendjét:
limn→∞(1+32n1−52n)4n+7
A következő, amit észrevehetünk, az a kitevőben lévő összeadás. Erre van egy ilyen szabály:
an+m=an⋅am
Ezt a szabályt a feladatban lévő 4n+7 kitevőre alkalmazzuk. (Az a-nak a zárójeles rész felel meg.)
limn→∞(1+32n1−52n)4n⋅(1+32n1−52n)7
Nézzük meg külön a szorzat második részét:
limn→∞(1+32n1−52n)7
Ennek a kitevője 7, ezért nem tart végtelenhez. A zárójelen belüli részt kell megnézni, hogy mi a határértéke. Az 1n sorozat határértéke 0, ezért:
limn→∞(1+32n01−52n0)7=(11)7=1
Visszatérhetünk a szorzat másik részéhez. Ennek a kitevője 4n, ami 2 ⋅ 2n. Miért jó, hogy így írom? Mert megint van egy hatványozós szabály, mégpedig:
an⋅m=(an)m
Tehát a kitevőben lévő szorzatból dupla hatványozás lesz. Így ezt kapjuk:
limn→∞(1+32n1−52n)2⋅2n=limn→∞((1+32n1−52n)2n)2
Még egy lépés van hátra: a belső zárójelben a törtet kettészedhetjük: külön a számlálót, külön a nevezőt hatványozzuk:
limn→∞((1+32n)2n(1−52n)2n)2
A nagy tört számlálójában (felső rész) a pirossal írt rész egyaránt 2n. Ugyanez az alsó részben kékkel van írva.
limn→∞((1+32n)2n(1−52n)2n)2
Emiatt a határértékre használhatjuk a bevezetőben felírt e x-es határértéket. Az x értéke felül 3, alul pedig -5:
limn→∞((1+32n)2n(1−52n)2n)2=(e3e−5)2=(e8)2=e16
Az utolsó lépésekben már csak a hatványozás szabályit kellett használni.
2. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot!
f(x)=(2x2+3x)ex+5
(2x2+3x)ex+5=0
Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tagja nulla, mert valamiszer 0 az 0. Az e-s rész nem lehet 0, mert az exponenciális függvény mindig pozitív. Akkor csak a zárójeles rész lehet 0:
2x2+3x=0
Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk megoldóképlettel is, de jobb, ha kiemelünk x-et:
x(2x+3)=0
Így megint szorzatot kaptunk, ami akkor 0, ha valamelyik tag 0. Tehát vagy
x=0,
vagy
2x+3=0azazx=−32
Most az y-tengelymetszet jön: ehhez x helyére 0-t kell írni:
(2⋅02+3⋅0)e0+5=0⋅e5=0
Tehát az y-tengelyt az y = 0 pontban metszi.
limx→∞(2x2+3x)ex+5=∞
Végtelenben a zárójeles rész és az e-s rész is végtelenhez tart, nyilván a szorzatuk is (mert végtelenszer végtelen az végtelen).
limx→−∞(2x2+3x)ex+5
Mínusz végtelenben már baj van, mert a zárójel most is végtelenbe tart, de az exponenciális rész 0-hoz, és végtelenszer 0 nem eldönthető. Ezért L'Hospital (lopitál) szabályt kell alkalmazni. De az csak törteknél működik, amikor 00 vagy ∞∞ jön ki. Csináljunk törtet a függvényből!
limx→−∞2x2+3xe−(x+5)
Az e-s részt levittem a nevezőbe, és kapott egy mínuszt. L'Hospital szabálynál ugye deriválni kell a felső részt és az alsó részt külön:
limx→−∞2x2+3xe−(x+5)=limx→−∞4x+3−e−(x+5)
Most a felső rész -∞-hez tart, az alsó szintén, mert a kitevőben -(-∞) = ∞ van, és még az e előtt is van mínusz. Így megint ∞∞ lett. Akkor lopitáljunk még egyszer:
limx→−∞4x+3−e−(x+5)=limx→−∞4e−(x+5)=4∞=0
Ez már jó, mert a számláló 4, a nevező pedig végtelenhez tart, és szám per végtelen az 0.
Tehát a függvény határértéke ∞-ben ∞, -∞-ben 0.
f(−x)=f(x) | páros |
f(−x)=−f(x) | páratlan |
f(−x) egyik se | nincs paritás |
Nézzük, mi a helyzet a függvénnyel:
f(−x)=(2⋅(−x)2+3⋅(−x))e−x+5=(2x2−3x)e−x+5
Ez se az eredetivel nem egyezik meg, se a -1-szeresével, ezért a függvénynek nincs paritása.
f′(x)=(4x+3)ex+5+(2x23x)ex+5=(2x2+7x+3)ex+5
Ezt kell egyenlővé tenni 0-val:
(2x2+7x+3)ex+5=0
Ez szorzat, ami akkor 0, ha valamelyik tag 0. Már tudjuk, hogy ex+5 mindig pozitív, tehát nem lehet 0, marad a zárójeles rész, ami egy másodfokú cucc, ezt meg könnyű megoldani. A megoldás:
x=−3
x=−12
Most csinálunk egy táblázatot, amibe az x-re kijött számokat írjuk:
x | x < -3 | x = -3 | -3 < x < -12 | x = -12 | -12 < x |
---|---|---|---|---|---|
f' | |||||
f |
Úgy kell kitölteni, hogy a második sorba a -3 és a -12 alá 0-t írunk, mert ott f' 0, a többi mezőbe pedig pluszt vagy mínuszt. Pl x < -3 alá pluszt írunk, mert ott f' pozitív. Ezt onnan lehet tudni, hogy x helyére -4-et (vagy bármilyen -3-nál kisebb számot) írunk, és kiszámoljuk.
x | x < -3 | x = -3 | -3 < x < -12 | x = -12 | -12 < x |
---|---|---|---|---|---|
f' | + | 0 | - | 0 | + |
f |
Végül a harmadik sort úgy töltjük ki, hogy minden + alá ↗ nyilat és minden - alá ↘ nyilat írunk:
x | x < -3 | x = -3 | -3 < x < -12 | x = -12 | -12 < x |
---|---|---|---|---|---|
f' | + | 0 | - | 0 | + |
f | ↗ | ↘ | ↗ |
Ahol a felnyíl átmegy lenyílba, ott maximuma van (domb), és ahol a lenyíl átmegy felnyílba, ott minimuma van (gödör). Így a kész táblázat:
x | x < -3 | x = -3 | -3 < x < -12 | x = -12 | -12 < x |
---|---|---|---|---|---|
f' | + | 0 | - | 0 | + |
f | ↗ | MAX | ↘ | MIN | ↗ |
Mellesleg a nyilak jelentés: ↗: a függvény szigorúan monoton növekvő, ↘: szigorúan monoton csökkenő.
f″(x)=(4x+7)ex+5+(2x2+7x+3)ex+5=(2x2+11x+10)ex+5
Ezt most is 0-ra kell megoldan, és elég csak a zárójeles résszel foglalkozni, ami megint másodfokú. Amegoldások:
x=−4,35
x=−1,15
Ugyanúgy táblázatot csinálunk és kitöltjük pluszmínuszokkal, de most a plusszok alá ∪-t, a mínuszok alá ∩-t írunk:
x | x < -4,35 | x = -4,35 | -4,35 < x < -1,15 | x = -1,15 | -1,15 < x |
---|---|---|---|---|---|
f'' | + | 0 | - | 0 | + |
f | ∪ | INFL | ∩ | INFL | ∪ |
A ∪ jelentése: konvex, itt a függvény mosolyog. A ∩ konkáv, a függvény szomorú. Egy konvex és egy konkáv rész között inflexiós pont van.
m=limx→±∞f(x)x
f(x) helyére írjuk be a függvényünket:
m=limx→±∞(2x2+3x)ex+5x=limx→±∞(2x+3)ex+5
Ez eléggé hasonlít ahhoz, amit az eredeti függvény határértékénél néztünk. Ott az derült ki, hogy a határérték ∞-ben ∞, -∞-ben 0. Ez most is igaz, amiből az következik, hogy a meredekség ∞-ben ∞, tehát nincs olyan egyenes, amihez hozzásimul a függvény. -∞-ben pedig m=0, azaz olyan egyenes, ami az x-tengellyel párhuzamos. Ki kéne még számítani, hogy az egyenes hol metszi az y-tengelyt. Erre is van képlet:
b=limx→±∞(f(x)−mx)
Mivel aszimptota csak -∞-ben van, és ott m=0, ezért f(x) határértékét kell kiszámolni (mert f(x) - 0 ⋅ x = f(x)), amit már megtettünk, és 0 jött ki. Tehát az aszimptota az y-tengelyt 0-ban metszi és párhuzamos az x-tengellyel, vagyis maga az x-tengely.

3. Adja meg az
y′+ctg x⋅y=sin3x
Nagyon sokféle differenciálegyenlet van, és mindegyiknek más a megoldási módja. Hogyan jöjjünk rá, hogy ezt hogy kell megoldani? Ennek az egyenletnek az alakja ilyen: valami y' + valami y = valami. Egy ilyen egyenletet így oldunk meg:
1. Először az egyenlet jobb oldalát átírjuk 0-ra:
y′+ctg x⋅y=0
2. Írjuk át az eredményül kapott C konstanst C(x) függvényre, és deriváljuk y-t:
y=C(x)sinx
Írjuk át a ctg x-et cosxsinx-re:
C′(x)⋅sinx−C(x)⋅cosxsin2x+cosxsinx⋅C(x)sinx=sin3x