Feledatok analízisből

1. Számítsuk ki a következő határértéket!
limn(3+2n2n5)4n+7

Ennek a feladatnak az alapja a következő határérték:

limn(1+1n)n=e

Itt az e az Euler-szám, amit a számológépen is meg lehet találni a logaritmus billentyűk környékén, és shift vagy 2ndF gombokkal lehet előhozni. Ha a határértékben egy kicsi módosítást teszünk, azaz az 1-est kicseréljük x-re, akkor a végeredményben az e-nek is x lesz a kitevője:

limn(1+xn)n=ex

Most térjünk vissza az eredeti feladathoz. A cél az, hogy ilyen alakúra hozzuk. Láthatjuk, hogy a zárójelen belül kétszer is szerepel a 2n:

limn(3+2n2n5)4n+7

Ezért emeljük ki a tört felső és alsó részéről is a 2n-t

limn(2n(32n+1)2n(152n))4n+7

Mivel a tört felső és alsó részében is szerepel ugyanaz a dolog szorzatban (a 2n), ezért ez kiesik. Még egy dolgot megváltoztattam: a felső részben megfordítottam az összeadás sorrendjét:

limn(1+32n152n)4n+7

A következő, amit észrevehetünk, az a kitevőben lévő összeadás. Erre van egy ilyen szabály:

an+m=anam

Ezt a szabályt a feladatban lévő 4n+7 kitevőre alkalmazzuk. (Az a-nak a zárójeles rész felel meg.)

limn(1+32n152n)4n(1+32n152n)7

Nézzük meg külön a szorzat második részét:

limn(1+32n152n)7

Ennek a kitevője 7, ezért nem tart végtelenhez. A zárójelen belüli részt kell megnézni, hogy mi a határértéke. Az 1n sorozat határértéke 0, ezért:

limn(1+32n0152n0)7=(11)7=1

Visszatérhetünk a szorzat másik részéhez. Ennek a kitevője 4n, ami 2 ⋅ 2n. Miért jó, hogy így írom? Mert megint van egy hatványozós szabály, mégpedig:

anm=(an)m

Tehát a kitevőben lévő szorzatból dupla hatványozás lesz. Így ezt kapjuk:

limn(1+32n152n)22n=limn((1+32n152n)2n)2

Még egy lépés van hátra: a belső zárójelben a törtet kettészedhetjük: külön a számlálót, külön a nevezőt hatványozzuk:

limn((1+32n)2n(152n)2n)2

A nagy tört számlálójában (felső rész) a pirossal írt rész egyaránt 2n. Ugyanez az alsó részben kékkel van írva.

limn((1+32n)2n(152n)2n)2

Emiatt a határértékre használhatjuk a bevezetőben felírt e x-es határértéket. Az x értéke felül 3, alul pedig -5:

limn((1+32n)2n(152n)2n)2=(e3e5)2=(e8)2=e16

Az utolsó lépésekben már csak a hatványozás szabályit kellett használni.

2. Végezzünk teljes függvényvizsgálatot!
f(x)=(2x2+3x)ex+5

  • Mivel kezdjük a feladatot? Legelőször azzal, hogy megnézzük, hol van értelmezve, azaz x helyére milyen számot írhatunk. Nincs olyan szám, amire ne lenne értelmezve, ezért xR.


  • Nézhetjük a tengelymetszeteket: ahol az x-tengelyt metszi, az a zérushely. Ezt úgy kapjuk meg, ha f(x) = 0:


  • (2x2+3x)ex+5=0

    Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tagja nulla, mert valamiszer 0 az 0. Az e-s rész nem lehet 0, mert az exponenciális függvény mindig pozitív. Akkor csak a zárójeles rész lehet 0:

    2x2+3x=0

    Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk megoldóképlettel is, de jobb, ha kiemelünk x-et:

    x(2x+3)=0

    Így megint szorzatot kaptunk, ami akkor 0, ha valamelyik tag 0. Tehát vagy

    x=0,

    vagy

    2x+3=0azazx=32

    Most az y-tengelymetszet jön: ehhez x helyére 0-t kell írni:

    (202+30)e0+5=0e5=0

    Tehát az y-tengelyt az y = 0 pontban metszi.

  • Megnézhetjük a függvény határértékeit a végtelenben.

  • limx(2x2+3x)ex+5=

    Végtelenben a zárójeles rész és az e-s rész is végtelenhez tart, nyilván a szorzatuk is (mert végtelenszer végtelen az végtelen).
    limx(2x2+3x)ex+5

    Mínusz végtelenben már baj van, mert a zárójel most is végtelenbe tart, de az exponenciális rész 0-hoz, és végtelenszer 0 nem eldönthető. Ezért L'Hospital (lopitál) szabályt kell alkalmazni. De az csak törteknél működik, amikor 00 vagy jön ki. Csináljunk törtet a függvényből!
    limx2x2+3xe(x+5)

    Az e-s részt levittem a nevezőbe, és kapott egy mínuszt. L'Hospital szabálynál ugye deriválni kell a felső részt és az alsó részt külön:
    limx2x2+3xe(x+5)=limx4x+3e(x+5)

    Most a felső rész -∞-hez tart, az alsó szintén, mert a kitevőben -(-∞) = ∞ van, és még az e előtt is van mínusz. Így megint lett. Akkor lopitáljunk még egyszer:
    limx4x+3e(x+5)=limx4e(x+5)=4=0

    Ez már jó, mert a számláló 4, a nevező pedig végtelenhez tart, és szám per végtelen az 0.

    Tehát a függvény határértéke ∞-ben ∞, -∞-ben 0.

  • Következő lehet a paritásvizsgálat, azaz hogy páros vagy páratlan-e, vagy egyik se. Ezt úgy tudjuk megnézni, hogy x helyére -x-et írunk. Ha így visszakapjuk az eredeti függvényt, akkor páros, ha a függvény -1-szeresét, akkor páratlan, ha egyiket se, akkor nincs paritása.

  • f(x)=f(x) páros
    f(x)=f(x) páratlan
    f(x) egyik se nincs paritás


    Nézzük, mi a helyzet a függvénnyel:

    f(x)=(2(x)2+3(x))ex+5=(2x23x)ex+5

    Ez se az eredetivel nem egyezik meg, se a -1-szeresével, ezért a függvénynek nincs paritása.

  • Most jöhet a monotonitás és szélsőérték-vizsgálat. Ehhez a függvényt deriválni kell:


  • f(x)=(4x+3)ex+5+(2x23x)ex+5=(2x2+7x+3)ex+5

    Ezt kell egyenlővé tenni 0-val:

    (2x2+7x+3)ex+5=0

    Ez szorzat, ami akkor 0, ha valamelyik tag 0. Már tudjuk, hogy ex+5 mindig pozitív, tehát nem lehet 0, marad a zárójeles rész, ami egy másodfokú cucc, ezt meg könnyű megoldani. A megoldás:

    x=3

    x=12

    Most csinálunk egy táblázatot, amibe az x-re kijött számokat írjuk:

    x x < -3 x = -3 -3 < x < -12 x = -12 -12 < x
    f'
    f

    Úgy kell kitölteni, hogy a második sorba a -3 és a -12 alá 0-t írunk, mert ott f' 0, a többi mezőbe pedig pluszt vagy mínuszt. Pl x < -3 alá pluszt írunk, mert ott f' pozitív. Ezt onnan lehet tudni, hogy x helyére -4-et (vagy bármilyen -3-nál kisebb számot) írunk, és kiszámoljuk.

    x x < -3 x = -3 -3 < x < -12 x = -12 -12 < x
    f' + 0 - 0 +
    f

    Végül a harmadik sort úgy töltjük ki, hogy minden + alá ↗ nyilat és minden - alá ↘ nyilat írunk:

    x x < -3 x = -3 -3 < x < -12 x = -12 -12 < x
    f' + 0 - 0 +
    f

    Ahol a felnyíl átmegy lenyílba, ott maximuma van (domb), és ahol a lenyíl átmegy felnyílba, ott minimuma van (gödör). Így a kész táblázat:

    x x < -3 x = -3 -3 < x < -12 x = -12 -12 < x
    f' + 0 - 0 +
    f MAX MIN

    Mellesleg a nyilak jelentés: ↗: a függvény szigorúan monoton növekvő, ↘: szigorúan monoton csökkenő.

  • Következő lépés a görbület (konvexitás) és az inflexiós pont meghatározása. Ehhez másodszorra is le kell deriválni a függvényt:


  • f(x)=(4x+7)ex+5+(2x2+7x+3)ex+5=(2x2+11x+10)ex+5

    Ezt most is 0-ra kell megoldan, és elég csak a zárójeles résszel foglalkozni, ami megint másodfokú. Amegoldások:

    x=4,35

    x=1,15

    Ugyanúgy táblázatot csinálunk és kitöltjük pluszmínuszokkal, de most a plusszok alá ∪-t, a mínuszok alá ∩-t írunk:

    x x < -4,35 x = -4,35 -4,35 < x < -1,15 x = -1,15 -1,15 < x
    f'' + 0 - 0 +
    f INFL INFL

    A ∪ jelentése: konvex, itt a függvény mosolyog. A ∩ konkáv, a függvény szomorú. Egy konvex és egy konkáv rész között inflexiós pont van.

  • Most egy olyan rész jön, amit senki sem szeret: az aszimptotikus viselkedés, ami azt jelenti, hogy hozzásimul-e egy egyeneshez. Ennek a függvénynek csak a végtelenekben kell megnézni, mert mindenhol értelmezve van. Mivel az aszimptota egy egyenes, ezért van meredeksége. Ezt a következő módon számítjuk:

  • m=limx±f(x)x

    f(x) helyére írjuk be a függvényünket:
    m=limx±(2x2+3x)ex+5x=limx±(2x+3)ex+5

    Ez eléggé hasonlít ahhoz, amit az eredeti függvény határértékénél néztünk. Ott az derült ki, hogy a határérték ∞-ben ∞, -∞-ben 0. Ez most is igaz, amiből az következik, hogy a meredekség ∞-ben ∞, tehát nincs olyan egyenes, amihez hozzásimul a függvény. -∞-ben pedig m=0, azaz olyan egyenes, ami az x-tengellyel párhuzamos. Ki kéne még számítani, hogy az egyenes hol metszi az y-tengelyt. Erre is van képlet:
    b=limx±(f(x)mx)

    Mivel aszimptota csak -∞-ben van, és ott m=0, ezért f(x) határértékét kell kiszámolni (mert f(x) - 0 ⋅ x = f(x)), amit már megtettünk, és 0 jött ki. Tehát az aszimptota az y-tengelyt 0-ban metszi és párhuzamos az x-tengellyel, vagyis maga az x-tengely.

  • Most már mindent tudunk a függvényről, hogy ábrázolhassuk:

  • 3. Adja meg az
    y+ctg xy=sin3x

    differenciálegyenlet általános megoldását!

    Nagyon sokféle differenciálegyenlet van, és mindegyiknek más a megoldási módja. Hogyan jöjjünk rá, hogy ezt hogy kell megoldani? Ennek az egyenletnek az alakja ilyen: valami y' + valami y = valami. Egy ilyen egyenletet így oldunk meg:

    1. Először az egyenlet jobb oldalát átírjuk 0-ra: y+ctg xy=0
    Az y'-t átírjuk dydx-re: dydx+ctg xy=0
    Az a cél, hogy x-ek csak az egyik oldalon, y-ok csak a másik oldalon legyenek. Ezért a ctg xy-t kivonjuk: dydx=ctg xy
    Átszorzunk dx-szel és osztunk y-nal: 1ydy=ctg x dx
    Így már hasonlít valamire, csak hiányzik az elejéről egy integráljel: 1ydy=ctg x dx
    A bal oldalt y szerint, a jobb oldalt x szerint kiintegráljuk: ln|y|=ln|sinx|+C
    A jobb oldalra került egy konstans, az integrálás miatt. Mindkét oldalra felesleges kiírni, mert akkor ki lehetne vonni az egyiket a másikból, ami ugyanúgy egy konstans. Másrészt y-t akarom kifejezni, ehhez az ln-t el kell tüntetni. Ezért a C zavaró, jobb lenne, ha az is ln-es lenn, mert akkor összevonhatnánk a sin x-szel. Ezért C helyett nyugodtan írhatunk ln C-t: ln|y|=ln|sinx|+lnC=lnCln|sinx|
    ln|y|=ln|Csinx|
    Most már elhagyhatjuk az ln-t, és akár az abszolútértéket is: y=Csinx
    Megkaptuk a 0-ra átírt egyenlet megoldását. De az eredeti differenciálegyenlet jobb oldalán sin3 x volt. Most ezt kéne megoldani. Ehhez jön a 2. lépés:

    2. Írjuk át az eredményül kapott C konstanst C(x) függvényre, és deriváljuk y-t: y=C(x)sinx
    y=C(x)sinxC(x)cosxsin2x
    A C(x) ismeretlen függvény, ezért a deriválást csak jelölöm egy vesszővel. Most visszahelyettesítjük y-t és y'-t az eredeti egyenletbe: C(x)sinxC(x)cosxsin2x+ctg xC(x)sinx=sin3x

    Írjuk át a ctg x-et cosxsinx-re:

    C(x)sinxC(x)cosxsin2x+cosxsinxC(x)sinx=sin3x
    Az első törtet szedjük ketté, a másik kettőt meg szorozzuk össze: C(x)sinxsin2xC(x)cosxsin2x+cosxC(x)sin2x=sin3x
    Az első törtben sin x-szel lehet egyszerűsíteni. A második és a harmadik tört ugyanaz, ezért szépen ki is esnek, mert a második előtt mínusz van. Egyébként az ilyen differenciálegyenletek megoldásánál a C(x) mindig kiesik. Ha nem, akkor valamit rosszul csináltunk. Ami marad: C(x)sinx=sin3x/sinx
    C(x)=sin4x
    Azt kaptuk, hogy a C(x) függvény deriváltja sin4 x. C(x)-et megkapjuk, ha integrálunk: C(x)=sin4x dx
    Na igen, de hogy integráljuk ki sin4 x-et??? Először írjuk át így: (sin2x)2. Valahonnan tudhatjuk, hogy sin2x = 12 ⋅ (1 - cos 2x). Ezt kell tehát négyzetre emelni: (sin2x)2=(12(1cos2x))2=14(12cos2x+cos22x)
    Ebben még van egy cos2-es rész, amit megintcsak át lehet írni, hasonlóan a sin2-hez, de itt x helyett 2x van: cos22x = 12 ⋅ (1 + cos 4x): 14(12cos2x+12(1+cos4x))
    Zárójelfelbontás után: 1412cos2x+18+18cos4x=3812cos2x+18cos4x
    Ezt már könnyebben ki tudjuk integrálni: 3812cos2x+18cos4x=38x12sin2x2+18sin4x4=
    =38x14sin2x+132sin4x
    Így most megkaptuk C(x)-et, de ne feledkezzünk meg az integrációs konstansról, amit most ne C-vel jelöljünk, hanem mondjuk K-val: C(x)=38x14sin2x+132sin4x+K
    Most már csak egy dolgunk van, visszahelyettesíteni y képletébe C(x) helyére ezt: y=38xsinx14sin2xsinx+132sin4xsinx+Ksinx
    Ez az általános megoldása a differenciálegyenletnek.